8.2
Ecuaciones de Gauss
Deduciremos las ecuaciones de Gauss a partir de las integrales del movimiento.
Sean, en el sistema S,T,R:
En el caso kepleriano, la ley de las áreas toma la forma . En nuestro caso, no es constante. Su variación será:
por tanto:
Por otra parte:
e identificando (9.8) y (10.8) resulta:
o sea, teniendo en cuenta (8.8):
Multiplicando la primera de (12.8) por sen u y la segunda por cos u, sumando y sustituyendo por la primera de las (11.8), obtenemos:
Multiplicando ahora la primera de (12.8) por cos u y la segunda por sen u, restando y sustituyendo luego por la primera de las (11.8):
Si la fuerza perturbatriz no tiene tercera componente, es decir, si f está en el plano de la órbita, según (I) y (II) no variarán ni el nodo ni la inclinación de la órbita.
Para hallar la variación de partiremos de la integral de la energía:
derivando:
de donde:
y recordando que las componentes de en el sistema S,T,R son (ver 28.3):
y además
sustituyendo en (13.8) y operando resulta:
Partiendo de y derivando: y teniendo en cuenta que , sustituyendo:
Despejando ahora e2 de p = a(1 – e2) y derivando, obtenemos:
y sustituyendo a’ por (III) y p’ por (14.8), despejando después e’ se obtiene:
Se puede calcular la variación del elemento orbital derivando :
De la tercera de (8.8) y (I) se obtiene
y de derivar la expresión que nos da el radio vector teniendo en cuenta los valores de e’ y p’ ya obtenidos, se halla
y poniendo cos E en función de cos V, utilizando
operando, agrupando términos y simplificando se obtiene
Sustituyendo (15.8) y (16.8) en se obtiene finalmente:
De derivando, obtenemos
y de también derivando,
y despejando E’:
y sustituyendo en (17.8):
El coeficiente de e’ es
que se puede expresar en función de V recordando que
resultando
y sustituyendo en M’
y sustituyendo por (IV) y por (III), agrupando términos y simplificando, obtendremos finalmente:
Las seis fórmulas indicadas por números romanos (del I al VI) constituyen las llamadas fórmulas de Gauss y dan la variación de los elementos orbitales al variar en un instante dado la velocidad del secundario a causa de la fuerza perturbatriz que actúa sobre él. Las aplicaremos al estudio del movimiento de satélites artificiales.