8.1 Movimiento de dos cuerpos perturbado
Recordemos (3.2) que la ecuación del movimiento relativo en el problema de los dos cuerpos
es un caso particular de la ecuación
del problema de la fuerza central cuando ésta es newtoniana
Pues bien, supongamos ahora que además de esta fuerza central existe otra que llamaremos fuerza perturbatriz. La ecuación (1.8) se escribirá:
siendo f la fuerza perturbatriz por unidad de masa.
El movimiento que define (2.8) se llama perturbado. El secundario no describe una cónica y su trayectoria ni tan siquiera es plana.
En el instante t,
el movimiento está definido por los vectores 
y 
. Si el movimiento fuese kepleriano (f = 0) se podrían deducir
de ellos elementos orbitales 
, 
, i, a, e, T. En el caso f
0, estos elementos definen la órbita que describiría el secundario a
partir de la época t, si en este mismo instante se suprimiera la
perturbación. La órbita kepleriana que se puede hacer corresponder de esta
forma a cada punto de la órbita perturbada recibe el nombre de órbita
osculatriz en este punto y sus elementos se llaman elementos osculadores,
estando completamente definidos por la posición y la velocidad del secundario
perturbado en el instante t.
Mientras el secundario describe su órbita, la órbita osculatriz se deforma, ya que si no ocurriera así el movimiento sería kepleriano. Luego, los elementos osculadores son funciones del tiempo.
Podemos decir que la órbita osculatriz es una órbita kepleriana tangente en cada punto a una órbita perturbada y cuyos elementos varían con el tiempo, e identificar el movimiento perturbado con un movimiento kepleriano sobre la órbita osculatriz.
El problema que se nos
presenta es pues el de obtener las expresiones que nos den los elementos
osculadores en función del tiempo. Partamos de una órbita osculatriz inicial
determinada por los elementos , , i, a, e, T. Al cabo de un
tiempo 
estaremos en un punto de
la órbita perturbada al que le corresponderá otra órbita osculatriz con unos
elementos osculadores que designaremos por 
, 
, 
, … y en dicho punto el radio vector será 
y la velocidad 
(utilizaremos 
para indicar el paso
de una osculatriz a otra y d cuando pasamos de un punto a otro de la órbita
perturbada). Calcularemos las variaciones de los elementos 
… durante la variación de tiempo . Llamaremos
Integrando estas expresiones tendremos 
… lo que nos dará en cada instante la posición de la órbita
osculatriz.
Ahora bien, en cada
instante t 
es el vector de
posición del secundario sobre la trayectoria y sobre la órbita osculatriz. Por tanto,
al cambiar de osculatriz, variará en segundo
orden y por consiguiente,
En cambio, debido a la acción de la
fuerza perturbatriz 
, en un tiempo la velocidad sufrirá
una variación
(4.8)
Consideremos ahora, además del sistema de referencia P, Q, R que hemos definido al estudiar el problema de los dos cuerpos no perturbado (3.11.3), otro ligado al secundario S, (Fig. 1.8) definido de la siguiente forma:
Origen O común al P, Q, R . Eje S en la dirección de la
recta que une el origen con el secundario. Eje T perpendicular al
anterior en el plano de la órbita y sentido positivo hacia el sentido positivo
de Q. Eje R coincidiendo con el eje R del sistema P,
Q, R. Podemos suponer también tres vectores unitarios 
, 
,
, sobre cada uno de dichos ejes, respectivamente.
Teniendo en cuenta (3.8), debido a la perturbación, la variación del plano de la
órbita osculatriz se traducirá en una rotación alrededor de definida por un vector
(5.8)
cuya expresión en función de sus componentes respecto a S, T, R serán:
(6.8)
Por otra parte, con
la velocidad variarán los elementos , i y 
. Las variaciones de dichos elementos serán rotaciones
alrededor de los ejes Z, línea de los nodos y R, respectivamente; por tanto,
las podremos representar por tres vectores: 
en la dirección
del eje Z, y sentido hacia Z positivo; 
en la dirección de la
línea de los nodos y sentido hacia el nodo ascendente N ; 
en la dirección de R
y sentido hacia R positivo.
Por tanto, podremos
expresar 
de la forma:
(7.8)
Las componentes de
los vectores ,, en la base S, T, R son:
y por consiguiente:
(8.8)
