7.2 Las diez integrales clásicas

 

Las ecuaciones (1.7) constituyen un sistema de 3n ecuaciones escalares diferenciales de segundo orden. Por tanto, el sistema es de orden 6n y se necesitarían para resolverlo completamente 6n constantes de integración, es decir, 6n funciones de , , t que permanecieran constantes durante el movimiento. Se conocen si n=2; pero, en el caso ge­neral sólo se conocen 10.

 

Sumando las ecuaciones (1.7), teniendo en cuenta que          , obtenemos

                                                                                                           (10.7)

e integrando dos veces:

                                                                                                           (11.7)

y

                                                                                                   (12.7)

 

expresiones que constituyen seis integrales primeras cuyas seis constantes de integración son las componen­tes de los vectores  y .

 

Para hallar el significado de estas integrales definamos el centro de masas de los n cuerpos por el vector de posición :

                                                                                     (13.7)

con .

 

Teniendo en cuenta (1l.7),(12.7) y (13.7) resulta:

                                                                                                        (14.7)

                                                                                                               (15.7)

relaciones que nos dicen que el centro de masas del sistema se mueve en el espacio con movimiento rectilíneo y uniforme.

Las integrales (11.7) y (12.7) reciben el nombre de integrales del centro de gravedad o del momento li­neal.

 

Multiplicando vectorialmente las ecuaciones (1.7) por  y sumando se obtiene:

                                                   (16.7)

Pero,

                                           

y

                                          

 

por consiguiente, en el segundo miembro de (16.7) se van destruyendo los términos dos a dos y en consecuencia queda:

                                                                                                     (17.7)

 

e integrando, teniendo en cuenta la igualdad

                                                       

se obtiene

                                                                                                     (18.7)

 

expresión que aporta tres nuevas integrales primeras al problema que reciben el nombre de integrales de las áreas o del momento angular. El vector  es el momento angular y sus componentes constituyen otras tres constantes de integración.

 

La ecuación (18.7) nos dice que el momento angular de las masas en el sistema es constante. El vector  define un plano llamado plano invariante de Laplace inclinado 1,5º respecto al plano de la eclíptica y situado entre los planos orbitales de Júpiter y Saturno.

 

Para hallar la décima constante de integración multipliquemos escalarmente la ecuación (6.7) por  y sumemos con respecto al índice i. Obtendremos:

                                                                                        (19.7)

e integrando:

                                                                                                 (20.7)

o lo que es lo mismo (ver (2.7)):

                                                                                                             (21.7)

 

expresión que constituye la llamada integral de la energía siendo la constante de integración h la energía del sistema.

 

El primer miembro de la ecuación (21.7) es la energía cinética del sistema, mientras que -U es la energía potencial. Por consiguiente, dicha ecuación (21.7) establece que la energía total del sistema de los n cuerpos es constante. Dicho de otra forma, el sistema es conservativo.

 

Las expresiones dadas por (11.7), (12.7), (18.7) y (20.7) se denominan integrales clásicas del problema de los n cuerpos. De momento no se conocen más. Bruns y Poincaré demostraron que, aparte de las diez encontradas, no existen otras integrales del problema de los n cuerpos que den ecuaciones que contengan sólo funciones, algebraicas o integrales, de las coordenadas y velocidades de los cuerpos válidas para todas las masas y que satisfagan las ecuaciones del movimiento.

 

Es posible reducir el orden del problema utili­zando las diez integrales clásicas; el origen de coordenadas puede trasladarse al centro de masas del sistema y con la ayuda de las integrales del área y de la energía se obtiene un sistema de orden (6n - 10).

 

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