7.1 Ecuaciones del movimiento

 

Consideremos n puntos materiales (n > 2) Pi ( i=1,2,...,n) de masas respectivas mi (i=1,2,...n) referidos a un sistema de coordenadas cartesianas fijo al que asociamos la variable tiempo t de manera que las posiciones de los puntos Pi estén definidas por los vectores de componentes rij (i= 1,2,...,n; j=1,2,3). Supongamos que la acción mútua entre dos puntos Pi, Pk tiene por dirección la recta que los une y por módulo G mi mk |f(rik)|, donde G es la constante de la gravitación universal, rik la distancia entre Pi y Pk y f(rik) una cierta función de dicha distancia, estando el sentido de la fuerza que Pk ejerce sobre Pi. definido por el vector  con rik=| rik |. Incluiremos en la función f(rik) el signo correspondiente que será negativo para las fuerzas repulsivas y positivo para las atractivas.

 

Las ecuaciones del movimiento del punto Pi serán:

 

                                                       (1.7)

 

habiendo hecho G=1 con el consiguiente cambio de la variable tiempo que seguiremos llamando t.

 

           

Introduzcamos las funciones escalares energía cinética T y función de fuerzas U dadas por las expresiones

 

                                                                                                         (2.7)

                                                                       (3.7)

 

donde

 

                                                                                            (4.7)

 

Si derivamos parcialmente la función U con respecto a una cualquiera de las componentes rij tendremos:

 

                   (5.7)

 

que nos da para el gradiente , teniendo en cuenta (1.7), la expresión

 

                                                                                                               (6.7)

 

La función lagrangiana

 

L = T + U

 

verifica, evidentemente las ecuaciones

 

                                                            (7.7)

 

A partir de (7.7) podemos obtener la formulación canónica del problema. En efecto, sea  el momento correspondiente a ,

 

 

                                                                                                (8.7)

 

 

 

y H la función hamiltoniana

H = T - U

 

 

Teniendo en cuenta (8.7) y que (2.7) se puede escribir ahora

 

 

se obtienen las igualdades

 

 

 

                                                                       

                                                

 

que constituyen las ecuaciones canónicas del movimiento

                                                                                        (9.7)

 

llamadas ecuaciones de Hamilton-Jacobi, equivalentes a las (1.7) y (6.7).

 

 

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