6.3  Método de Gauss

 

En el método de Gauss, al igual que hicimos en el de Laplace, distinguiremos dos partes. En la primera, veremos cómo pueden calcularse tres posiciones heliocéntricas del cuerpo cuya órbita tratamos de calcular a partir de tres posiciones geocéntricas. En la segunda, estudiaremos la forma de obtener los elementos orbitales a partir de dos de las tres posiciones heliocéntricas.

 

6.3.1   Determinación de las áreas triangulares

 

 

FIG. 3.6

 

 

            Sean (Fig. 3.6) T el centro de la Tierra, Pi la posición del cuerpo P en cuestión en la época ti ( i = 1, 2, 3 ), S el Sol, el vector unitario en la dirección TPi que obtenemos por obser­vación (recordemos Cap. 6.1),  la posición geocéntrica del Sol y  la posición heliocéntrica de Pi.

Puesto que suponemos que la órbita es kepleriana, los vectores  ( i = 1, 2, 3 ) son coplanarios, cumpliéndose:

 

                                                                                       (27.6)

 

donde   c1, c2, c3   son tres escalares no simultáneamente nulos.

            Multiplicando vectorialmente (27.6) primero por  por la izquierda y después por  por la de­recha, tendremos:

 

                                                                                            (28.6)

 

sistema que podemos escribir en la forma:

                                                                                  (29.6)

 

Si tomamos como sistema de referencia el de coordenadas P, Q, R, que hemos considerado ya otras veces (Ap. 3.11.3), con origen el Sol, resulta que los productos vectoriales que aparecen en los denominadores de (29.6) tienen, todos ellos, la dirección y sentido de un vector unitario  tomado sobre el eje R en el sentido positivo del mismo. Por otra parte, podemos expresar mediante los llamados corchetes de Gauss  el área del trián­gulo determinado por los vectores  ( i, j = 1, 2, 3).

En consecuencia, podremos escribir:

 

                                                                                             (30.6)

 

y, por tanto, (29.6) se podrá expresar en la forma:

 

                                                                                  (31.6)

 

De la Fig. 3.6 deducimos

                                                                                  (32.6)

 

y multiplicando por   ci   y sumando teniendo en cuenta (27.6), obtenemos:

                                                                                             (33.6)

 

ecuación vectorial que equivale a un sistema de tres ecuaciones escalares en las componentes de ,  con las incógnitas ri, ci ( i = 1, 2, 3).

 

image300

FIG.4.6

 

 

            Para determinar las ci (razones entre las áreas) supondremos la órbita referida a los dos ejes rectangulares heliocén­tricos P,Q situados en su plano. Sean P0 y P1 las posiciones del cuerpo P en los tiempos t0 y t0 + q;  el área del triángulo P0SP1 y S el área del sector curvilíneo limitado por los radios vectores  y  y el arco de órbita  (Fig. 4.6)

Tendremos:

                                               

 

siendo c la constante de las áreas.

Escribiremos el desarrollo de  en función del tiempo q, basándonos en el desarrollo de  en fun­ción del tiempo q en el entorno de :

                                                 (34.6)

 

Multiplicando vectorialmente por la izquierda por :

       (35.6)

 

cuyos coeficientes calcularemos de la siguiente forma:

Para el primero, recordaremos que, según la ley de las áreas es

                                                                                                          (36.6)

           

Para el segundo, multiplicaremos por  por la izquierda la ecuación del movimiento:

                                                                                        (37.6)

 

El tercero, lo calcularemos derivando esta última expresión:

                                                 

es decir:

                                                                                                   (38.6)

 

Y, volviendo a derivar, obtendremos el cuarto:

                                              

 

de donde:

                                                                                 (39.6)

 

Derivando la ecuación del movimiento y multiplicando por :

 

                               

 

y sustituyendo en el segundo término del segundo miembro de (39.6), obtenemos, finalmente:

                                                                                                  (40.6)

 

Sustituyendo (36.6), (37.6), (38.6) y (40.6) en (35.6), tendremos:

 

                                                 (41.6)

 

Apliquemos este resultado a las áreas triangulares determinadas por las tres posiciones sucesivas de P, P1, P2, P3, para las épocas tl, t2, t3. Sean ,  y  los respectivos vectores de posición. Haga­mos, por otra parte

                                 

 

y tomemos como origen de tiempos t2 con lo cual será  y . Tendremos:

                                                      (42.6)

 

y si ahora tomamos como origen t1 con lo que será , podremos escribir:

                                                        (43.6)

 

 

6.3.2                                               Fórmulas aproximadas de Encke

 

Hagamos las hipótesis simplificativas siguientes:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

FIG 5.6

 

 

1)    Supongamos que la velocidad entre Pl y P2 (Fig. 5.6) es .

2)    En la expresión dada por el teorema del coseno           

                                                                              (44.6)

 

despreciemos .

3)    Teniendo en cuen­ta que      de (44.6) obtendremos:

                                                  

 

y elevando ambos miembros a -3/2, desarrollando el segundo miembro por la fórmula del binomio de Newton y tomando sólo dos términos del desarrollo:

                                                                                           (45.6)

 

4)    Sustituyamos (45.6) en (43.6) haciendo, además, r1 = r2 en los términos de cuarto orden en el tiempo. Tendremos:

                     

 

y teniendo en cuenta que

 

                                      

 

podremos escribir, finalmente:

 

                                        (46.6)

 

Dividiendo las (42.6) por (46.6), habida cuenta de las razones (29.6), obtendremos:

                              (47.6)

 

expresiones que nos dan, a menos de un factor constante, los valores de las incógnitas ci en función de r2.

Las fórmulas (47.6) son poco prácticas al contener la derivada . Por este motivo, se suelen despreciar los términos a partir del que contiene el factor , inclusive, con lo que queda:

                                                                         (48.6)

 

que son las llamadas fórmulas aproximadas de Encke

 

 

6.3.3                                                         Cálculo de las   ri   y de las posiciones heliocéntricas

 

Multiplicando (33.6) escalarmente por  obtendremos:

                         

dividiendo ambos miembros por -c2 y sustituyendo los cocientes  y  por los valores (47.6), resulta:

 

    (49.6)

 

ecuación de la forma

                                                                                                       (50.6)

con

                     

 

Resolviendo el sistema formado por la ecuación (50.6) y

                                                                             (51.6)

se obtienen r2 y .

 

Al despejar una de las incógnitas de una de las ecuaciones (50.6) o (51.6) y sustituirla en la otra, se obtiene una ecuación de octavo grado análoga a la que hemos encontrado al estudiar el método de Laplace (Ap. 6.2, fórmula 18.6).

Hallados   r2 y r2  ,  sustituyendo  el valor de   r2   en  (48.6)  obtendremos   -c3/c2   y   -c1/c2.

Dividiendo (33.6) por -c2, obtendremos:

                                               (52.6)

 

ecuación vectorial que equivale a tres ecuaciones escalares de las cuales obtendremos r1  y r3.

Finalmente, sustituyendo sucesivamente r1, r2  y r3  en

 

obtendremos las tres posiciones heliocéntricas ,  y  .

 

 

6.3.4.      Corrección de aberración y de los parámetros c1/ c2 , c3 /c2 .

 

La órbita que calculemos a partir de las posiciones heliocéntricas que hemos encontrado deberá ser corre­gida. En primer lugar, tengamos en cuenta que una vez hallado un primer valor de r deberemos corregir de aberración (ver 6.2.1). Corregido el tiempo de aberra­ción y obtenidos nuevamente c1/c2 y c3/c2 , una primera corrección de dichos parámetros puede obtenerse calculando las razones

                                

 

donde  es el área del sector limitado por los radios vectores ,  y el arco de órbita entre las posiciones Pi y Pj , y  el área del triángulo SPiPj. En efecto,

                                   

o sea:

                                                      

 

 

y, análogamente:

Estos cocientes nos proporcionarán, a partir de (52.6) valores más aproximados de r1 y r3 y en consecuencia de  y .

 

 

6.3.5    Cálculo de los elementos de una órbita por dos posiciones heliocéntricas

 

FIG. 6.6

 

                                   FIG 6.6

 

 

Supongamos conocidas dos posiciones heliocéntricas P1 y P2 en las épocas tl   y   t2  por sus coordenadas ecuatoriales heliocéntricas: ( , A1, Dl; tl ), (, A2, D2; t2 ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Si t2 es posterior a t1 el movimiento será directo respecto al plano ecuatorial si   A2 >Al   y retrógrado si   A2 < A1.   En el primer caso será i < 90º y en el segundo 90º < i < 180º.

Del triángulo P1P1N de la Fig.6.6 y su análogo para la posición P2, deducimos:

                                           

 

 

 

sistema de dos ecuaciones en las incógnitas i, W que nos darán estos dos elementos orbitales sin ambigüedad puesto que conocemos el cuadrante en que se halla i.

También es inmediato el cálculo de los argumentos  y  por cualquiera de las fórmulas

                                            

 

o sus análogas

                                           

 

y puesto que se verifica

                                                   

 

podremos calcular la diferencia entre las anomalías verdaderas de las posiciones P2 y P1.

En resumen, el problema que tratamos de resolver quedará reducido, a partir de ahora, a calcular los elementos a, e, w, T de una órbita de la que se conocen los radios vectores  y  correspondientes a dos épocas t1 y t2 y la diferencia V2 - V1 de sus anomalías verdaderas.

             Supongamos que la órbita es elíptica: Sean   E1 y E2   las anomalías excéntricas correspondientes a  y . Hagamos:

                         

 

y recordemos las siguientes fórmulas del movimiento elíptico:

                                                

                                         

 

De la segunda, resulta:

                                               

 

y despejando :

                                                  

 

Restando de 1 y sumando 1 a los dos miembros de esta última igualdad, resulta:

                     

 

Cambiando 1- ecosE por   r/a   y extrayendo la raiz cuadrada nos queda para cada una de las posiciones P1 y P2:

                                         

 

                                                  

 

                             

 

fórmulas de las que se deducen, por simples transformaciones, las igualdades

 

                           

 

es decir:         

                                                                         (53.6)

 

                     

o sea:

                                                     (54.6)

 

                                       

 

o sea:

                                                                             (55.6)

 

                                  

 

es decir, dividiendo los dos miembros por :

 

                                                                        (56.6)

 

Las ecuaciones (53.6), (54.6), (55.6) y (56.6) que resumimos a continuación

 

                                                                     (57.6)

 

constituyen un sistema de cuatro ecuaciones con las incógnitas a,e,g y G. Eliminando  entre la primera y la tercera y  entre la primera y la cuarta, nos queda el sistema:

                                                      (58.6)

 

e introduciendo una nueva variable h definida por cualquiera de las expresiones equivalentes

                                                         (59.6)

 

(obtenida la segunda sustituyendo  por el valor de  deducido de la primera de (58.6)), y eliminando  entre (59.6) y las dos últimas de (58.6), obtendremos:

                                    (60.6)

 

Finalmente, si llamamos   m y l   a las constantes

                          

 

sustituyéndolas en las ecuaciones (60.6), dividiendo previamente la primera por , nos queda

                        

                                                                                                  (61.6)

                                                                                      (62.6)

            

Las ecuaciones (61.6) y (62.6) constituyen el sistema de ecuaciones de Gauss, algebraicas en cuanto a   h   pero no en cuanto a   g,   que suele escribirse:

 

                                                                                  (63.6)

 

El sistema (63.6) se resuelve por aproximaciones sucesivas.

            Llamemos

                                                                                                         (64.6)

                                                                                               (65.6)

y hallemos:

                                                                                                     (66.6)

Deduciremos  de (65.6), haciendo:

                                              

 

y derivando respecto a g los dos miembros de la igualdad:

 

de donde:

                    

 

es decir:

                                                                                        (67.6)

 

Para calcular  haremos

                                             

 

de donde

                                                                                                        (68.6)

 

Sustituyendo, pues, (67.6) y (68.6) en (66.6), obtendremos:

 

                                                                                        (69.6)

 

Todavía podemos expresar  en función de x:

De (64.6) obtenemos:

                                                      

 

de donde:

                                                  

 

y sustituyendo dicho valor en (69.6), obtenemos finalmente:

 

                                                                                        (70.6)

 

Para integrar la ecuación diferencial (70.6) procederemos por desarrollo en serie, para lo cual escribiremos:

                                                                              (71.6)

 

y derivando respecto a x:

                                                                                 (72.6)

 

Sustituyendo (71.6) y (72.6) en (70.6), tendremos:

                                     (73.6)

 

Identificando coeficientes en (73.6) obtendremos:

                                    

 

y sustituyendo en (71.6):

 

                                  

 

El desarrollo de  converge más rápidamente que el de X, por cuyo motivo se utiliza

                                                                         

 

o lo que es lo mismo:

                                                 

 

con

                                                                                     (74.6)

función que se halla tabulada.

 

Con todo esto las ecuaciones de Gauss (63.6) se escribirán:

                                                                                  (75.6)

y eliminando x entre ellas

                                          

 

o también:

                                      

 

 

y llamando

                                                       

 

será:

                                             

 

 

de donde, verificando operaciones, se deduce

 

                                                                                        (76.6)

 

ecuación que también se halla tabulada.

                                               

El proceso de cálculo es el siguiente:

Se toma  y se calcula

 

Se lleva h0 a (76.6) y se clcula h.

Calculada h, la primera ecuación del sistema (75.6) nos dará x.

Con x el desarrollo (74.6) nos dará un valor de x con el cual calcularemos una nueva h.

Una vez obtenido h con suficiente aproximación, (64.6) nos dará g, quedando resuelto el sistema (63.6).

Conocido el valor de g (ya conocíamos r1, r2 y f ), de la segunda de (58.6) se deduce a y de la primera, p, y en consecuencia e, teniendo en cuenta que .

Llevando a y g a la tercera de (57.6) deducimos G.

 

Recordando que

 

 

 

obtenemos E1 y E2

 

De la ecuación de Kepler, M1 = E1 - e sen E1, obtene­mos M1  y de M2 aplicando

 

M1 = n (t1- T)

 

obtenemos finalmente T.

 

 

6.3.6 Resumen de fórmulas y proceso de cálculo

 

 

 

 

                        primer valor                  à  h

 

                                  à 

 

                             à  x

                       

                  à 

 

con  se vuelve a h.

Cuando se tiene  con suficiente aproximación se hace:

 

 

         à  a

 

 

                    à  p

 

p = a (1-e2)                                         à  e

 

r1 + r2 = 2a - 2ae cos G cos g             à                   

 

                      à                    E1   y   E2

 

M = E – e sen E                     à        M

M = n (t - T)                           à        T

 

 

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