5.3 Movimiento geocéntrico de los planetas

 

            5.3.1 Introducción

 

4

 

 

           

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

En una base eclíptica heliocéntrica X Y Z (Fig. 4.5), sean  y  los vectores de posición de la Tierra P1 y de un planeta P2 y  y  sus respectivas velocidades. La posición y el movimiento geocéntricos de dicho planeta, en una cierta época, vendrán definidos por los vectores:

 

                                                                                                       (17.5)

 

donde, como que la velocidad de un planeta depende sólo de su vector de posición (27.3), r será función sólo de r1 y r2.

Llamaremos  a los vectores de movimiento medio de P1 y P2. En el triángulo P1P2S, el ángulo E recibe el nombre de elongación y F el de ángulo de fase.

 

 

            5.3. 2 Configuraciones geocéntricas

 

            Diremos que un planeta P2 es inferior o superior con respecto a la Tierra P1, según que  sea menor o mayor, respectivamente, que   (Fig. 4.5).

            Un planeta inferior está en conjunción inferior o en conjunción superior, según que su longitud heliocéntrica sea igual a la de la Tierra o a la de ésta más 180º (Fig. 5.5).

 

            Un planeta superior está en oposición o en conjunción según que su longitud heliocéntrica sea igual a la de la Tierra o a la de ésta más 180º (Fig. 6.5).

 

5-6

Para todas estas configuraciones se verifica:           

 

                                                                                                 (18.5)

 

En la órbita relativa del planeta, será mínimo o máximo, es decir P2 pasará por el perigeo o apogeo, siendo máximos o mínimos el semidiámetro aparente y la paralaje, si:

 

                                                                                                             (19.5)

Se dice que un planeta está estacionario cuando su longitud geocéntrica no varía. La proyección sobre la eclíptica de la velocidad areolar relativa es entonces nula y, por tanto:

 

7                                                                                                 (20.5)

 

           

            Para un planeta superior (Fig. 7.5 (a)) la elongación E puede tomar todos los valores posibles, diciéndose en particular que el planeta está en cuadratura cuando E = 90º, siendo ésta la diferencia entre las longitudes geocéntricas del planeta y del Sol.

En cambio, un planeta inferior presenta una máxima elongación, oriental u occidental, (Fig. 7.5 (b)) que puede calcularse mediante la condición:

 

                                                                                                 (21.5)

 

Para un planeta inferior (Fig. 8.5 (a)) el ángulo de fase F puede tomar todos los valores posibles, diciéndose en particular que tiene lugar la dicotomía cuando F=90º. Un planeta superior, en cambio, presenta un máximo ángulo de fase (Fig.8.5 (b)) que puede calcularse mediante la condición:

 

                                                                                                (22.5)

 

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5.3.3 Movimiento geocéntrico circular

 

Estudiemos ahora las configuraciones geocéntricas consideradas en 5.3.2 en la hipótesis simplificativa de que los planetas describen órbitas circulares. Además de (17.5) tendremos:

 

                                                                                                      (23.5)

 

      Sean Ω, i,  los elementos eclípticos del planeta P2, V2 su anomalía verdadera,  l1  la longitud heliocéntrica de la Tierra   P1   y   P2 = Ω ++V2 la longitud del planeta P2 sobre su órbita (Fig. 9.5). Los argumentos u1 y u2 de P1

y P2, contados a partir del nodo ascendente N (eje X), valdrán

 

                                                           u1 = l1 - Ω

                                                  u2 = l2 - Ω =  + V2

 

9

           

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

           

            Según (18.5) un planeta P2 estará en conjunción o en oposición si el triángulo esfé­rico   NP1 P2   es rectángulo en  P1  y, por tanto:

 

                                                                                                     (24.5)

 

relación también válida aunque las órbitas no sean circulares.

 

      En particular, si además de suponer las órbitas circulares las suponemos coplanarias, es   i = 0   y, según (24.5):

o             que corresponde a conjunción inferior si el planeta es inferior o a oposición si el planeta es superior,

o           que corresponde a conjunción superior si el planeta es inferior o a simplemente conjunción si el planeta es superior.

 

            En dicha hipótesis, el intervalo de tiempo S transcurrido entre dos configuraciones sucesivas del mismo nombre, denominado revolución sinódica, vendrá dado por la condición:

 

                                                          

 

e introduciendo el movimiento medio sinódico  se tendrá, también:

                                                                                                   (25.5)

 

debiéndose tomar el signo más o el signo menos según que el planeta P2 sea inferior o superior.

 

            En la TABLA VII figuran las revoluciones sinódicas de los planetas, así como las distancias medias al Sol a y los radios rB de sus órbitas, supuestas circulares, calculados a partir de la ley empírica de Bode

 

                                                        

 

              Dado que las excentricidades y las inclinaciones de las órbitas planetarias son realmente pequeñas, las revoluciones sinódicas dan una idea aproximada de la periodicidad con la cual, para cada planeta, se reproducen las distintas configuraciones.

              Según (19.5) un planeta P2 pasará por el perigeo o apogeo, recordando (17.5) y (23.5), si se verifica

 

                                             

u operando:

                                                                                      (26.5)

 

Es decir, si generalizamos (25.5) y definimos el vector de movimiento medio sinódico:

                                                                                                       (27.5)

 

en el perigeo o apogeo, la Tierra P1 y el planeta P2 se encuentran sobre un plano que pasa por  (Fig. 10.5).

 

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Siendo pues rectángulos en R los triángulos NRP1 y NRP2 se tiene

 

                                                       

 

11y dado que, según se desprende de la figura 11.5 (detalle de 10.5),

 

 

 

también, finalmente, dividiendo:

        (28.5)

 

relación entre los argumentos de P1 y de P2 en el perigeo o apogeo.

   

   

    Si las órbitas fuesen además coplanarias,   i=0,   y (28.5) se reduciría a

 

                                                              

 

es decir, tales fenómenos tendrían lugar en las conjunciones u oposiciones.

                                                                                                                           Hemos visto que un planeta P2 estará estacionario si se verifica (20.5), y recordando (17.5), si

 

                                               

 

u operando

                                                                      

o también, según (23.5):

                                                                                                                          

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Puesto que en la hipótesis de órbitas circulares, los argumentos de  y  valen u1+90º y u2+90º, respectivamente (Fig. 12.5), la relación entre los argumentos de   P1 y P2   será ahora, según (29. 5):

 

o también, dividiendo por  y sustituyendo los valores de y :

 

    (30.5)

           

Si además de circulares las órbitas son coplana­rias (i=0) y suponemos, con mucha aproximación, que se verifica exactamente la tercera ley de Kepler:

 

                                                         

 

de la relación (30.5) se deduce que hay estación para:

 

                                                                             (31.5)

 

 

            El tiempo que tarda el planeta en recorrer el doble del ángulo   definido por (31.5) es decir, el intervalo de tiempo transcurrido entre dos estaciones que comprendan la conjunción inferior o la oposición (según que dicho planeta sea inferior o superior), es la duración de la retrogradación y vale , siendo S la revolución sinódica.

 

            Dado que en el triángulo  SP1P2   de la Fig. 4.5 se verifica:

 

                                                   

 

según (21.5) un planeta P2 estará en la máxima elongación si

 

                                              

 

o sea, siendo   ,   si

                                                                                                       (32.5)

 

            Para que se cumpla la condición (32.5) el planeta debe ser inferior (r2< r1) y, en tal caso, el tri­ángulo   SP1P2   de la Fig. 4.5 es rectángulo en P2, F = 90º; la máxima elongación tiene lugar en la dico­tomía (supuestas las órbitas circulares). Siendo ahora

                                                                                                         (33.5)

 

y, además,   G=90º-E  , obtenemos la siguiente rela­ción entre los argumentos de P1 y P2:

                                        (34.5)

 

            Dado que en el triángulo SP P de la Fig. 4.5 se verifica:

 

                                                   

 

según (22.5) un planeta   P2   presentará máximo ángulo de fase si

 

                                              

 

o, siendo , si

                                                                                                       (35.5)

 

            Para que se cumpla la condición (35.5) el planeta debe ser superior (r2 > r1) y, en tal caso, el tri­ángulo SP1P2 es rectángulo en P1, E =90º; el máximo ángulo de fase tiene lugar en la cuadratura (supuestas las órbitas circulares). Siendo ahora

 

                                                                                                         (36.5)

 

y, además, G = 90º - F , obtenemos la siguiente relación entre los argumentos de P1 y P2:

                                       (37.5)

 

 

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