10.2 Eclipses de Luna
El cálculo de un eclipse de Luna es análogo al de un eclipse de Sol, si bien el problema se simplifica por el hecho de que las circunstancias y los tiempos son los mismos para todos los lugares de la Tierra en los cuales la Luna es visible.
Cabe distinguir tres tipos de eclipses lunares:
Eclipse penumbral: tiene lugar cuando la Luna entra sólo en la penumbra de la Tierra (1 en Fig. 19.10).
FIG. 19.10
Eclipse parcial: tiene lugar cuando la Luna está parcialmente incluida en el cono de sombra (2 en Fig.19.l0).
Eclipse total : tiene lugar cuando la Luna entra totalmente en el cono de sombra (3 en Fig. 19.10).
10.2.1 Posibilidad de los eclipses de Luna
Para estudiar la posibilidad de un eclipse de Luna supondremos la Tierra esférica de radio el correspondiente a un lugar de latitud = 45º. El valor de la paralaje de la Luna será con estas hipótesis
π1 = 0.998340 π (60.10)
deducido de las expresiones (recordar 2.l.l):
tomando en ellas y = 45º.
Supongamos la Luna a una distancia r. Tracemos una esfera de centro en la Tierra y radio r (Fig.20.l0). De la Fig. 20.10 se deduce
(61.10)
Para calcular los valores de los ángulos f1 y f2 hacemos
Pero,
V1T + SV1 = ST = r
por tanto:
Llamando
nos queda
f1 = s + π (62.10)
Análogamente para f2 obtendremos:
es decir
f2 = s - π (63.10)
FIG. 20.10
Luego, sustituyendo en (61.10) los valores de f = s ± π tendremos
(64.10)
Sin embargo, no se toman estos valores debido al efecto que produce la atmósfera de la Tierra de incrementar el radio aparente de la sombra de un 20%, siendo
(65.10)
donde γ1 y γ2 están expresados en las mismas unidades que las paralajes y el semidiámetro aparente del Sol (normalmente en segundos de arco).
La distancia angular L entre el centro de la Luna y el eje del cono de sombra será (Fig. 20.10):
Al comienzo y fin del eclipse penumbral:
L1 = γ1 + s = 1.02 (π1 + s + π) + s (66.10)
Al comienzo y fin del eclipse parcial:
L2 = γ2 + s = 1.02 (π1 - s + π) + s (67.10)
Al comienzo y fin del eclipse total:
L3 = γ2 - s = 1.02 (π1 - s + π) - s (68.10)
Hemos visto (4.10) que la distancia mínima del centro de la Luna al eje del cono de sombra es
Σ = β cos I
donde aquí β será la latitud del centro de la Luna en la oposición (Luna llena) e la inclinación de la órbita relativa lunar que viene dada por (3.10)
siendo I la inclinación de la órbita lunar, y λ la relación entre los movimientos en longitud de la Luna y del Sol en el entorno de la oposicion.
Para que tenga lugar un eclipse penumbral de Luna debe ser
Σ < L1
es decir:
β cos I < 1.02 (π1 + s + π) + s (69. 10)
Para que el eclipse sea parcial se ha de verificar:
Σ < L2
es decir:
β cos I < 1.02 (π1 - s + π) + s (70.10)
Finalmente, para que se produzca eclipse total, ha de ser
Σ < L3
es decir:
β cos I < 1.02 (π1 - s + π) - s (71.10)
Si en (70.10) tomamos el valor medio de cos = 0.995 o lo que es lo mismo de sec = 1.00472, π1 = π y aplicamos valores medios, resulta:
0.00472 [1.02 (π - s + π) + s] = 16
y por tanto:
β <(1 + 0.00472) [l.02 (π
- s + π) +
s] = 1.02 (π – s+ π)
+ s + 16
(72.10)
Si sustituimos en (72.10) los valores mínimos de π, π, s y el máximo de s, el eclipse parcial de Luna será
seguro para β < 53 26
Sustituyendo en cambio los valores máximos de π, π, s y el mínimo de s, el eclipse parcial de Luna será
imposible para β > 63 46
siendo dudoso entre dichos límites.
Análogamente, tomando el valor medio de cos I y sustituyendo adecuadamente los valores máximos y mínimos de π1, π, s y s en (69.10) y en (71.10) se obtiene:
si β >1º 36 38 no hay eclipse
si 1º 36 38 > β >1º 26 19 el eclipse penumbral es posible
si 1º 26 19 > β > lº 03 46 el eclipse penumbral es seguro (parcial imposible)
si 1º 03 46 > β > 0º 53 26 el eclipse penumbral es seguro
(parcial posible)
si β <0º 23 48 el eclipse es total seguro.
10.2.2 Cálculo de las circunstancias de un eclipse de Luna
Para hallar la época T en que tiene lugar una determinada fase de un eclipse de Luna pueden utilizarse las ecuaciones fundamentales de la teoría de eclipses, bastando permutar la Luna y la Tierra en dichas ecuaciones y considerar un eclipse de Luna como un eclipse de Sol observado desde la Luna. Pero, dado que es suficiente que estos cálculos sean aproximados se suele sustituir la teoría general por una teoría mucho más simple. Supondremos el observador en el centro de la Tierra ya que el efecto de paralaje no modifica de una manera sensible el aspecto de un eclipse ni la época de las distintas fases.
FIG. 21.10
Sean (Fig. 21.10) P el polo norte; S la posición aparente geocéntrica del
centro de la sombra de la Tierra (opuesta al Sol); L el centro de la Luna vista desde el centro de la Tierra; Q el ángulo en el Sol; A y D
la ascensión recta y la declinación de la Luna; A – 180º y D la ascensión recta y la declinación del Sol; a y d
la ascensión recta y la declinación
del punto S (a = A +
Con ello en el triángulo PSL es:
PS = 90º +
D=
90º - d ; |
PL = 90º -
D; |
P = A - A -
180 = A - a |
(73. 10)
Se trata ahora de determinar para qué épocas se satisfacen estas relaciones (73.10) cuando en ellas sustituimos por los valores correspondientes a las distintas fases del eclipse de Luna. Puesto que sería supérfluo efectuar un cálculo preciso, dada la poca exactitud con que se pueden observar los contactos, bastará considerar que siendo del orden de lº podemos escribir dichas (73.10) en la forma
(74.10)
Las coordenadas x, y referidas al plano de Bessel seran:
(75. 10)
donde
= ¼ (A - a) sen 2d sen (A - a)
obtenida suponiendo que A - a es muy pequeño y recordando la fórmula trigonométrica cos (A - a) = 1 - 2 sen2 .
Los elementos x e y vienen expresados en segundos de arco. La cantidad es pequeña y puede a menudo ser ignorada, aunque aparezca en el cálculo para las efemérides.
Calculadas x e y para varias horas sucesivas anteriores y posteriores a la época de la Luna llena, y deducidas de ellas sus variaciones horarias x, y, si x0, y0 denotan los valores de x e y para un instante T0 cerca de la oposición, la época de contacto será
T = T0 + τ
y las coordenadas
(76.10)
FIG. 22.10
En el instante de los contactos = L y por tanto
L2 = x2 + y2 con L = L1, L2, L3
dados por (66.10), (67.l0), (68.l0) respectivamente.
Por otra parte (Fig. 22.10)
Multiplicando
(77.10) vectorialmente por n, obtenemos
Aplicando módulos y teniendo en cuenta la teoría general explicada en 10.1 tenemos
de donde
Multiplicando (77.10) escalarmente por n, obtenemos
o también
L n cos ψ = (x0 x + y0 y) + n2 τ
y haciendo
x0 x + y0 y = D
(79.10)
debiendo tomarse cos ψ con signo negativo o positivo según se trate del primer o último contactos.
Si en (79.10) ponemos cos ψ = , tendremos según (78.10):
(80.10)
Para que (80.10) tenga solución real debe ser L2 > Δ2.
a) Máxima fase del eclipse: En el momento de máximo oscurecimiento o fase máxima se verificará
L = Δ
es decir , el máximo del eclipse tendrá lugar en la época para la cual
b) Grado de oscurecimiento: El grado de oscurecimiento es
c) Magnitud del eclipse: Teniendo en cuenta que llamamos magnitud del eclipse a la distancia del borde eclipsado al borde de la sombra en la mitad del eclipse (fase máxima), tomando el diámetro de la Luna como unidad es
d) Angulo de posición del punto de contacto: El ángulo de posición del punto de contacto sobre el limbo lunar contado desde el norte hacia el oeste es, según la Fig. 21.10:
P = Q + 180º
siendo tan Q = con el signo de sen Q igual que el signo de x.
Si consideramos como polo de un hemisferio terrestre el lugar que tiene la Luna en su cenit todos los habitantes de este hemisferio verán el eclipse y los del hemisferio opuesto no lo veran. Por consiguiente, para determinar las regiones de la Tierra desde las cuales se puede observar el fenómeno, se determinarán las coordenadas geográficas de los lugares que tienen la Luna en su cenit en el momento de cada una de las principales fases del eclipse.
10.2.3 Efecto
de la atmósfera terrestre
Es fácil calcular que la distancia del vértice O del cono de sombra geométrico determinado por las tangentes exteriores al Sol y la Tierra al centro de la Tierra es de 216 radios terrestres. Pero, al penetrar en la atmósfera terrestre, un rayo luminoso AB (Fig. 23.10)
FIG. 23.10
tangente al Sol y a la Tierra se desvía por efecto de la refracción, acercándose a la vertical TB hasta que llega al punto B y alejándose de la misma vertical en su trayecto desde el punto B hasta que sale de la atmósfera; su desviación total es, por
consiguiente, el doble de la desviación horizontal, es decir 2 x 35 = 70, lo cual hace que el vértice O del cono de sombra se halle a una distancia del centro de la Tierra de tan sólo 40 radios terrestres. Por tanto, dicho cono no puede alcanzar la Luna cuya distancia a la Tierra oscila entre 56 y 64 radios terrestres. Luego, en un eclipse total de Luna, ésta quedará alumbrada únicamente por los rayos que habrán atravesado nuestra atmósfera y cuya intensidad es, naturalmente, mucho menor que la de los rayos directos, pero suficiente para que el disco de la Luna no desaparezca por completo durante un eclipse total. En la mayoría de los casos el disco lunar presenta una coloración rojo-oscura con regiones amarillentas o azuladas mientras que otras veces aparece con un tinte ceniciento debido a la humedad de la atmósfera.