3.7 Desarrollos en serie

Obtendremos ahora los desarrollos en serie de las anomalías excéntrica y verdadera y del radio vector en función de la anomalía media y la excentricidad.

3.7.1 Desarrollo en serie de la anomalía excéntrica

Expresaremos E por desarrollo en serie de Mac-Laurin de potencias de e, considerando M como parámetro. Para hallar los distintos términos del mismo, derivaremos sucesivamente la ecuación de Kepler:

y aplicando la fórmula de Mac-Laurin:

(47.3)

3.7.2 Desarrollo en serie del radio vector

Derivando la ecuación de Kepler y recordando la expresión del radio vector
r=a(l-ecos E), obtenemos:

y de aquí:

Calcularemos a partir de (47.3), considerando e constante:

(48.3)

de donde, desarrollando en serie por división:

(49.3)

3.7.3 Desarrollo en serie de la anomalía verdadera

Teniendo en cuenta la ley de las áreas:

y que

sustituyendo dt y despejando dV, se deduce:

De (48.3) se obtiene, elevando al cuadrado y ordenando según las potencias de e:

y desarrollando:

Multiplicando estas dos series se obtiene:

e integrando y observando que para V=0, M=0 (por lo que la constante de integración será nula), finalmente:

(50.3)

3.7.4 Desarrollo en serie de las coordenadas reducidas

Hemos definido como coordenadas reducidas

Recordando una vez más que r=a(l-ecosE), despejando cosE y teniendo en cuenta (49.3):

y restando e de esta última expresión:

(51.3)

Por otra parte, de la ecuación de Kepler, despejando senE y teniendo en cuenta (47.3):

y multiplicando por el desarrollo de obtenido anteriormente:

(52.3)

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