2. LA TIERRA
2.1 Elipsoide terrestre
Debido
a las irregularidades que presenta la superficie física de la Tierra, se hace
necesario asimilarla a una cierta superficie más o menos ideal que reproduzca
ciertas magnitudes físicas; es lo que corrientemente denominamos un
"modelo".
A.
– Modelo geométrico
Desde
un punto de vista geométrico, la Tierra puede considerarse, en primera
aproximación, como una esfera de radio 6.371 km y, en segunda aproximación,
como un elipsoide de revolución. La esfera y el elipsoide son equivalentes,
tanto en área como en volumen, y el radio de la esfera, llamado radio medio de la Tierra, es la media
aritmética de los tres semiejes del elipsoide (aproximada al km).
Los
elementos del elipsoide de revolución que fue adoptado como "elipsoide
internacional" por la Asamblea General de la Unión Geodésica y Geofísica
Internacional (U.G.G.I.), celebrada en Madrid en 1924, son:
radio ecuatorial: 
achatamiento: 
de los que se deduce:
radio polar: 
Como
consecuencia de los resultados obtenidos mediante la observación de satélites
artificiales, en la Asamblea General de la Unión Astronómica Internacional
(U.A.I.), celebrada en Hamburgo en 1964, se recomendó trabajar con los
siguientes elementos:
Ultimamente,
en la Asamblea General de la Unión Astronómica Internacional que se celebró en
Grenoble en 1976, se adoptó un nuevo sistema de constantes astronómicas,
designado por IAU (1976), que entró en vigor el 1 de enero de 1984. En él se
toma:
a = 6.378,140 km
B.‑
Modelo dinámico
El
potencial creado por la Tierra no es de revolución. Ello se intenta explicar
considerando que la Tierra, desde un punto de vista dinámico, se aproxima
mediante un elipsoide de tres ejes cuyos elementos son:
a = 6.378,2 km
donde f y fe son el achatamiento polar y el achatamiento ecuatorial,
respectivamente.
Desde
1958, por observación de las anomalías orbitales del satélite artificial
Vanguard 1958 b2,
se sabe que, en cuanto se refiere a la distribución de masas, la Tierra tiene forma de pera. En la figura
1.2 la comparamos con el elipsoide.
FIG 1.2
El
elipsoide de revolución es una sencilla figura geométrica de referencia, pero
que se aparta algo de la forma real de la Tierra. Por eso se define el geoide relativo a un punto como la
superficie ortogonal en cada punto a la dirección de la gravedad. Difiere en
±100 m del elipsoide de referencia. La figura teórica que se obtiene es una
superficie que, coincidiendo con la superficie media de los mares (hecha
abstracción de mareas y corrientes), se prolonga hipotéticamente por debajo de
los continentes. Para ajustar el geoide real al teórico se ha de efectuar una
compensación de masas.
FIG 2.2
Consideremos
el elipsoide como figura de referencia y un observador O situado sobre dicho elipsoide. Para este observador O, llamaremos (Fig. 2.2):
Vertical geodésica, Zg, a la dirección normal al
elipsoide en O.
Horizonte geodésico, Hg,
al plano tangente al elipsoide en O.
Vertical astronómica, Za, a la dirección normal al
geoide que pasa por O (la dirección
de la plomada).
Horizonte astronómico, Ha, al plano tangente al
geoide en O.
Desviación de la vertical, 
, al ángulo que forman las verticales geodésica y
astronómica. Su valor varia desde fracciones de segundo a un minuto de arco, lo
que provoca errores de medida desde decenas de metros a 2 km.
La
Tierra gira alrededor de un eje de rotación instantánea, o eje del mundo, que
no coincide ni con el eje de figura del elipsoide ni con el tercer eje del
elipsoide central de inercia. Sean (Fig. 3.2): O el centro
del elipsoide, T el centro de gravedad de la Tierra, i el eje instantáneo de rotación, e el eje de figura del elipsoide y e' el tercer eje del elipsoide central de inercia. Se definen los
siguientes elementos:
FIG 3.2
Ecuador instantáneo, Qv, plano que pasa por el
centro de gravedad de la Tierra y es ortogonal al eje instantáneo.
Ecuador medio, Qm, plano que pasa por el
centro del elipsoide y es ortogonal al eje de figura.
Latitud astronómica,
ángulo que forma la vertical astronómica con el ecuador instantáneo.
Latitud geodésica,
ángulo que forma la vertical geodésica con el ecuador medio.
En
lo que sigue se considerará que el centro del elipsoide coincide con el centro
de gravedad de la Tierra (O=T) y que el eje de figura coincide con
el tercer eje del elipsoide central de inercia (e=e'). Esto equivale a
despreciar los desplazamientos de T y
de e', debido a movimientos de masas
interiores, y a considerar un eje y un ecuador medios que contienen los tres
ejes del elipsoide central de inercia.
2.1.1 Posición sobre la superficie de la
Tierra
Entre
los diversos autores, no hay un criterio unánime para definir las coordenadas
geográficas. Unos consideran como geográficas las astronómicas medias mientras
que otros toman como geográficas las geodésicas. Así lo haremos nosotros,
llamando coordenadas geográficas a
las geodésicas, considerando los meridianos y los paralelos sobre un elipsoide
de revolución cuyos ejes mayores estén situados en el ecuador medio y cuyo eje
menor sea el eje polar medio. La longitud
geográfica ya ha sido definida en el apartado 1.7.1.
Para
fijar la posición de un lugar O situado
sobre la superficie de la Tierra, es necesario conocer sus coordenadas
rectangulares o polares con respecto a la elipse sección del elipsoide por el
meridiano del lugar. Representemos, pues, la sección meridiana del elipsoide
terrestre junto con su circunferencia principal (Fig. 4.2).
FIG 4.2
Sean
T el centro de la Tierra, a el radio ecuatorial y c el radio polar. Consideremos un sistema
de coordenadas cartesianas con origen en T
y ejes X sobre a y Z sobre c. Sea, además, O un punto cualquiera del elipsoide. Si trazamos la vertical
geodésica Zg (ortogonal al
elipsoide) en O, 
representará
la latitud geográfica. Asimismo, 
, ángulo del vector de posición de O con el eje X, se denomina latitud
geocéntrica de O. La diferencia:
se llama ángulo de la vertical y, como se
demostrará, es siempre v<12'.
Sea
Q la intersección de la ordenada por O con el círculo principal. El ángulo u
que forma TQ con el eje X se denomina latitud reducida.
Se
trata de hallar las coordenadas cartesianas (x,z) y las coordenadas
polares (a, r, 
) del punto O, siendo 
el radio vector TO del punto O medido en unidades del semieje mayor (
), y, posteriormente, relacionarlas con f .
Recordando
que la elipse y su circunferencia principal son afines, según una afinidad
ortogonal de eje el mayor de la elipse y razón c/a, podemos escribir:
y teniendo en cuenta que:
obtendremos:
(1.2)
Como,
además:
(2.2)
de (1.2)
y (2.2), dividiendo ordenadamente z entre x e
identificando los coeficientes:
(3.2)
Por otra parte, recordando
la pendiente de la normal a una curva, según (1.2), por
definición de latitud geográfica:
(4.2)
Comparando con la anterior
igualdad (3.2), obtenemos 
en función de :
(5.2)
según se sigue de las
definiciones de achatamiento, f, y de excentricidad, e.
Si
hacemos:
(6.2)
donde C(f)
y S(f )
son ciertas funciones de f y calculamos dichas
funciones a partir de (1.2) y (6.2),
tendremos:
y, según (4.2):
y operando:
(7.2)
Efectuando
los cocientes z/x en (1.2) y (6.2) e
identificando, se deduce:
y, según (4.2):
(8.2)
es decir, S(f)
y C(f)
son proporcionales. Las fórmulas (6.2), (7.2)
y (8.2) permiten hallar las coordenadas cartesianas de O(x,z) en función de .
Para
hallar el radio vector de O en
función de , sumemos los cuadrados de x y z en (2.2)
y (6.2) e identifiquémoslos:
y, teniendo en cuenta (8.2):
de donde, finalmente:
(9.2)
Para hallar el ángulo de
la vertical en función de O escribiremos:
y según (5.2):
y teniendo en cuenta que 
y que 
, será:
y haciendo
queda finalmente:
(10.2)
Para
hallar el valor máximo de v
expresaremos su tangente en función del ángulo auxiliar u; por (4.2) y (3.2)
tendremos:
v será máximo cuando lo sea 
, es decir, cuando u=
/4. En tales circunstancias 
, y (3.2) y (4.2)
se reducen a:
(11.2)
(12.2)
de donde:
lo que implica
Recordando que c/a =1‑f y sustituyendo f
por su valor en (11.2) y en (12.2),
resulta:
y finalmente:
2.1.2 Corrección de coordenadas por altitud
FIG 5.2
Si
el observador se encuentra sobre un punto O' situado a una altitud h
sobre el elipsoide de referencia, veamos cuales serán las correcciones , Dx, Dz, Dr, Df’ que aplicadas a las
coordenadas de O nos darán las
coordenadas de O' (Fig.
5.2). Sea T el centro de la
Tierra y TQ la proyección de TO' sobre TO. Tendremos:
y también
de donde
Si
sustituimos la tangente de Df’ por el arco (v < 12', por lo que es una
aproximación razonable), resulta:
y despreciando términos de
segundo orden:
Si definimos la altitud reducida H=h/a, obtenemos las correcciones
en coordenadas polares:
(13.2)
En coordenadas cartesianas
la corrección será:
y según (6.2)
tendremos:
(14.2)