1.8 Problemas del movimiento diurno

1.8.1 Paso por un vertical de acimut a

Datos	f, D, a
Incognitas	H, h

Para determinar H consideraremos las fórmulas de paso de horarias a horizontales (Fig. 27.1):

que divididas ordenadamente dan:

Podemos resolver esta ecuación tranformándola en una algebraica de segundo grado en senH o cosH, o bien mediante la introducción de un ángulo auxiliar M, haciendo:

con lo que se obtiene

es decir:

(15.1)

fórmulas que permiten resolver el problema. Obtenemos así dos determinaciones no simétricas (según corte el vertical hacia poniente o hacia levante), a partir de las cuales podemos calcular el tiempo sidéreo de paso recordando (7.1).

Para determinar h procederemos análogamente a partir de la fórmula de paso de horizontales a horarias:

Introduciendo el ángulo auxiliar N mediante las fórmulas:

obtenemos:

(16.1)

resultando, también, dos determinaciones.

FIG 27.1

Para conocer la correspondencia entre las determinaciones de H y las de h, usaremos la relación:

Discusión: El problema no tiene siempre solución. Si en el triángulo esférico polo‑cenit‑astro de la Fig. 27.1. aplicamos la analogía de senos, siendo el ángulo paraláctico tendremos:

es decir:

desigualdad que sólo se verificará si el problema tiene solución. Para comprender esto hemos de tener en cuenta que si el astro culmina al sur del cenit, el paralelo que describe corta a todos los verticales (en los dos hemisferios, visible e invisible); pero, si culmina al norte del cenit, su paralelo sólo cortará a los verticales de acimutes comprendidos entre unos valores mínimo y máximo, correspondientes a los verticales tangentes al paralelo del astro (Fig. 28.1). Si a_m es el acimut mínimo y a_M el acimut máximo, el problema tendrá solución si el acimut dado, a, verifica la acotación:

por simetría con respecto al plano meridiano.

FIG 28.1

Casos particulares

a)Máxima digresión: Decimos que un astro presenta máxima digresión occidental (oriental) cuando pasa por el vertical de acimut mínimo (máximo). Por lo tanto, sólo pueden presentar máxima digresión los astros que culminan al norte del cenit.

Cuando tiene lugar la máxima digresión es recto el ángulo paraláctico y aplicando al triángulo polo‑cenit‑astro las fórmulas de los triángulos rectángulos deducimos (Fig. 27.1):

(17.1)

relaciones que nos dan el ángulo horario a, H, el acimut, y la altura, h, correspondientes a la máxima disgresión. También podremos conocer el tiempo sidéreo local en esta posición a partir de H y de A.

Si la máxima digresión ocurre cerca del meridiano, H es pequeño y queda mal determinado por el coseno. Es conveniente, entonces, efectuar la transformación:

por lo que

Con la determinación positiva obtenemos el horario de la máxima digresión occidental y con la negativa el de la oriental.

Por otra parte, si una estrella presenta máxima digresión (culmina al norte del cenit), se verifica:

Pero sabemos que las estrellas circumpolares, perpétuamente visibles, cumplen que pº90°‑D<f. Por tanto, si f<45° (caso de Barcelona) todas las estrellas cirumpolares presentan máxima digresión. Si f>45º sucede al revés; ambos conjuntos coinciden si f = 45º (como ocurre, aproximadamente en París).

b ) Paso por el meridiano: En este caso H=0^h y a=0° ó 180°, según que el astro culmine al sur o al norte del cenit, respectivamente. En cuanto a las alturas se tiene (Figs. 29.1):

FIG 29.1

Los pasos por el meridiano se observan con el círculo meridiano, anteojo que sólo puede moverse alrededor de un eje que coincide con la perpendicular. E1 tiempo sidéreo local del paso nos proporciona la ascensión recta del astro y la altura la declinación.

c) Paso del Sol por el meridiano: Consideremos ahora un caso ligeramente distinto del anterior, dado que el Sol presenta diámetro aparente. Por este motivo, se mide el paso del borde del Sol por el meridiano y se reduce posteriormente al paso de su centro.

FIG 30.1

Para efectuar dicha reducción se considera el triángulo PBA como esférico (Fig.30.1); en él, P es el polo celeste, A el centro del Sol y B el punto de tangencia del círculo PB. Se verifica:

(18.1)

con s, semidiámetro aparente del Sol, aproximadamente igual a 16'. Sustituyendo en (18.1) los senos por los arcos, resulta:

Si q_o es el tiempo sidéreo de paso del centro del Sol por el meridiano y q es el tiempo sidéreo de paso del borde del Sol por el meridiano, del H hallado por las fórmulas anteriores, se desprende:

con el signo más o menos según consideremos el paso del borde anterior o posterior. Esta reducción se aplicará siempre que el astro considerado presente diámetro aparente (caso de la Luna y de los planetas).

Dado que la declinación del Sol es variable, no presenta la máxima altura cuando pasa por el meridiano. Se demuestra que el ángulo horario de su culminación viene dado por:

En nuestra latitudes f>D y, por lo tanto, tanf-tanD>0. Cuando dD/dH>0 (invierno y primavera) la culminación se verifica después del paso por el meridiano y cuando dD/dH<0 (verano y otoño) la culminación se verifica después de dicho paso.

d)Paso por el primer vertical: En este caso consideramos el paso por el vertical de acimut 90º. Del triángulo polo-cenit-astro, rectángulo en Z, obtenemos (Fig. 31.1):

(19.1)

fórmulas que nos proporcionan dos determinaciones opuestas para el ángulo horario, pero una única determinación de la altura en los pasos oriental y occidental.

FIG 31.1

En el caso de que H sea pequeño, podemos transformar la fórmula (19.1) como hemos hecho en a) y obtener una mejor aproximación de su valor:

Conocida la declinación del astro, los pasos por el primer vertical permiten hallar la latitud, f, mediante la fórmula (19.1) (método de Struve).

1.8.2 Paso por un almucantarat de altura h

E1 problema tendrá solución bajo las siguientes condiciones según que el astro culmine al sur o al norte del cenit (Fig. 32.1):

FIG 32.1

Datos	f, D, h o z
Incógnitas	H, a

FIG 33.1

Aplicando la fórmula de Borda:

al triángulo polo-cenit-astro (Fig. 33.1), tendremos:

donde las dos determinaciones, positiva y negativa, se corresponden e indican que el paso es occidental u oriental, respectivamente.

Casos particulares

a)Paso por el horizonte: En este caso se suelen considerar como incógnitas el arco semidiurno, H, y la amplitud, a' (recordar (1.6.1). Para un astro de declinación fija las amplitudes ortiva y occídua son iguales. E1 triángulo polo‑cenit‑astro es rectilátero y permite resolver el problema (Fig. 34.1):

FIG 34.1

Procediendo como en casos anteriores, si H es pequeño:

Si el problema tiene solución, la raiz nunca es imaginaria. En efecto, si el astro no es circumpolar, 90° ‑ D > f por lo que cos (f + D) > 0. Y como:

restando ordenadamente, resulta:

y, por tanto,

Además, como que 90° ‑ D > f , tomando cosenos y recordando que el coseno es una función decreciente:

a’ sólo posee una determinación (la menor de 90°) y H posee dos, según se considere el orto o el ocaso (negativa o positiva respectivamente).

FIG 35.1

b) Orto y ocaso del Sol: Para el caso del Sol (como para el caso de la Luna) es necesario considerar una corrección DH al arco semidiurno H, debido a que cuando el Sol está en su orto o en su ocaso la altura de su centro es de ‑50' (Fig. 35.1) (recordar 1.6.5). Para obtenerla diferenciaremos la fórmula de conversión de coordenadas horarias a horizontales,

con lo cual obtendremos:

Considerando la dh como un incremento, teniendo en cuenta que cos h 1 y que 50' = 200s, resulta:

habiéndose obtenido H mediante la fórmula hallada en el apartado anterior, Dicha corrección siempre es aditiva, dado que su signo ya viene dado por sen H.

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