8.5 Perturbaciones debidas a la resistencia de la atmósfera
Para el estudio de las perturbaciones
debidas al efecto de la atmósfera se hacen diversas hipótesis simplificativas:
a) Se supone la Tierra esférica
b) La densidad de la atmósfera decrece exponencialmente con la altura
c) La densidad del aire no varía con el tiempo (se desprecian las
mareas: la Luna y el Sol producen mareas sobre la atmósfera, llegando a variar
la densidad hasta un 20% por este efecto)
d) La resistencia de la atmósfera al movimiento de un
cuerpo es proporcional al cuadrado de la velocidad del cuerpo
(26.8)
donde c = coeficiente de resistencia ( 
2,2)
s = área de la sección recta
del satélite
e) La atmósfera gira con la Tierra; es decir, el punto r
describe un paralelo (Fig. 4.8). Si 
es la velocidad
del satélite, 
la velocidad de la
atmósfera y 
la velocidad
resultante, tenemos:
siendo
o también
(27.8)
donde ω
es la velocidad angular de la
Tierra y 
la latitud del punto r.
Si llamamos γ al ángulo que forman y , podemos escribir:
El ángulo
entre y no diferirá
mucho del que formen con la proyección 
de sobre la
tangente a la órbita (Fig. 5.8), de modo que si es 
, tendremos:
y teniendo
en cuenta que en el triángulo NSQ de la (Fig. 5.8) se
verifica
recordando
la fórmula (27.8), podemos escribir:
El término 
es pequeño. En un
punto ecuatorial es del orden de 0.5 km/s. A 300 km de altitud es del orden de
8 km/s. Luego, podemos escribir:
es decir:
siendo q0 la distancia al
perigeo inicial
v0 la velocidad del satélite al pasar
por el perigeo inicial
i0 inclinación del satélite al
pasar por el perigeo inicial
En general 
y 
, por tanto 
y 
pero el cociente está restando
de la unidad, de ahí la desigualdad dada.
Vemos pues que VR está acotada por v y
por un factor de reducción
El cuadrado de este factor F es tal que está
comprendido entre 1 y 0.9
Con esto
y recordando
(26.8) podemos escribir:
(28.8)
y teniendo en cuenta que si 
es la fuerza perturbatriz por unidad de masa,
será
(29.8)
haciendo 
e igualando (28.8)
y (29.8), obtendremos
(30.8)
y de (30.8),
(31.8)
Para el cálculo de las perturbaciones debidas a la atmósfera
trabajaremos en la base L, N, R, definida de la siguiente
forma:
L dirigido según la tangente a la órbita en la
posición del satélite
N dirigido según la normal
R perpendicular al plano de la
órbita
Expresaremos las ecuaciones de Gauss en esta nueva base. El cambio se
expresará por
(32.8)
(33.8)
En cuanto a la velocidad recordemos que en el sistema S,T,R
es:
de
aquí que, según la Fig.6.8:
(34.8)
Las dos primeras ecuaciones de Gauss se mantendrán ya que el tercer eje
de uno y otro sistema coinciden. Es decir, volvemos a encontrar (I) y (II). Para hallar las
restantes tendremos en cuenta los cambios indicados.
Así, para calcular a
partiremos de (III) y
escribiremos, sustituyendo fS y fT por sus
correspondientes valores deducidos de (32.8) y (34.8), teniendo además en cuenta que sólo tiene primera componente,
y teniendo
en cuenta los valores de vr,
vp y fL
(primera componente de ) queda
o
lo que es lo mismo:
(35.8)
Análogamente, para calcular e’ partiremos de (IV) y aplicando los mismos cambios y recordando que 
obtendremos:
(36.8)
y 
se obtendrán a partir
de (V) y (VI). Serán:
(37.8)
(38.8)
La presencia del término sen V en las ecuaciones (37.8) y (38.8) hará que al integrarlas
obtengamos
(39.8)
Deberemos pues preocuparnos sólamente de a’ y e’.
En las fórmulas (35.8)
y (36.8) intervienen la densidad 
y la velocidad v
que podemos expresar en función de la anomalía excéntrica E. En efecto,
recordemos que 
(39.8)
y escribámosla para el perigeo. Si llamamos 
a la densidad en dicho
punto tendremos:
(40.8)
y tomando h
= r y dividiendo (39.8) por (40.8):
donde
.
Por otra
parte, llamemos x a
la semidistancia focal (Fig.7.8) :
con lo cual
y
Por tanto
y
(41.8)
Para la velocidad escribiremos:
de donde
(42.8)
Para simplificar aun más calcularemos x’ y trabajaremos con a’
y x’ en lugar de hacerlo con a’ y e’.
Escribiremos:
y teniendo
en cuenta (35.8) y (36.8)
obtendremos:
pero,
sustituyendo y v por
(41.8) y (42.8), finalmente:
(43.8)
donde
Análogamente, sustituyendo en (35.8) y 
por (41.8) y (42.8), se obtiene:
(44.8)
De (43.8) obtendremos
(45.8)
y de (44.8):
(46.8)
Al resolver las integrales (45.8)
y (46.8) se obtiene:
(47.8)
(48.8)
De 
, tomando incrementos se obtiene
y
sustituyendo 
y 
por sus valores (47.8) y (48.8):
(49.8)
Tanto en como en y 
, 
,… representan las funciones de Bessel
Si designamos por q y q’ las distancias perihélica y
afélica respectivamente, tendremos:
y de (47.8) y (48.8):
En primera aproximación se puede suponer 
y al comparar los incrementos de
q y q’, obtendremos:
Si se toma 
y e < 0.2, valores
normales en el lanzamiento de satélites, este cociente es:
lo cual nos
dice que el apogeo baja una diez veces más deprisa que el perigeo. La órbita
tiende a hacerse circular.
Como que a disminuye, en media el satélite
describe una espiral y acaba quemándose en la atmósfera. Es la “muerte” de un
satélite artificial en órbita alrededor de la Tierra.