2.4 Potencial de la gravedad
Si
un punto P está situado sobre la
superficie de la Tierra, además de experimentar una aceleración debida a su atracción
experimenta una aceleración debida a
su rotación. Gravedad 
es la resultante de
la aceleración de la gravitación 
y de la aceleración
centrífuga 
.
FIG 11.2
En
la Fig. 11.2 
, D = f' (latitud geocéntrica). El
radio de giro es r cosD y, por tanto, si llamamos w a la velocidad angular de la Tierra, la
aceleración centrífuga vale
y deriva de un potencial
centrífugo
(35.2)
El
potencial de la gravedad será la suma de los potenciales gravitatorio terrestre
y centrífugo:
(36.2)
Llamando
q al cociente entre la aceleración centrífuga y la atracción en el ecuador,
suponiendo la Tierra esférica de radio ecuatorial a
se tiene, sustituyendo (31.2) y (35.2) en (36.2), teniendo en cuenta este valor de q:
(37.2)
El
geoide es una superficie equipotencial de la gravedad, es decir que w se mantiene constante sobre la superficie
del geoide. En consecuencia, si igualamos la expresión (37.2)
a una constante, tendremos en forma aproximada (pues hemos escrito para el
potencial V sólo los términos hasta
2° orden), la ecuación del geoide (W = Cte.). Pero, esta ecuación es difícil de
manejar, por lo que se aproxima al geoide por el elipsoide. Dado que el
elipsoide difiere del geoide en ± 100 m, supondremos que
coinciden, es decir, consideraremos la superficie del elipsoide como una
superficie equipotencial de la gravedad. En particular, el potencial será el
mismo en el ecuador que en el polo.
En
el ecuador,
en el polo,
e igualando ambas
expresiones:
(38.2)
y recordando que el
achatamiento es
se tiene
(despreciando
términos a partir de f2)
y sustituyendo en (38.2):
operando y despreciando
términos a partir de f2:
y, como según la
observación, J y f son del mismo orden:
de donde
(39.2)
fórmula que nos dice que J puede conocerse a partir de f mediante triangulaciones geodésicas.
Por
ser W el potencial de la gravedad se
verifica:
siendo ortogonal al
elipsoide en cada punto, por lo que su componente en la dirección del radio
vector será
(40.2)
donde v es el ángulo de la vertical (radio vector normal) cuyo desarrollo
en función de la latitud geodésica es
donde
luego,
y desarrollando en serie
cos v:
y
Por consiguiente, según (40.2):
(41.2)
Tengamos
en cuenta que r y D no son independientes sobre el
elipsoide y veamos como varía g con
la declinación. Para ello, vamos a hallar una relación entre r y D.
A partir de la ecuación cartesiana de la elipse
operando y considerando
errores en f2:
Por tanto
y sustituyendo en (41.2) obtenemos:
que puede escribirse en la
forma
(42.2)
En esta expresión (42.2) debemos determinar el valor de k, para lo cual tenemos en cuenta que en el polo D = 90° , sen D = 1 y
(43.2)
por consiguiente:
(44.2)
Conoceremos,
pues, k cuando calculemos el valor de
la gravedad en el ecuador y en el polo.
El
valor de la gravedad en el ecuador es:
y sustituyendo J por su valor (39.2),
tendremos:
expresión llamada fórmula de Jeffreys. Observemos que si
la Tierra no girase, q = 0, y no
fuese achatada, f = 0, sería
Procediendo,
análogamente que en la deducción de la fórmula de Jeffreys, podemos deducir, a
partir de (41.2) el valor de la gravedad en el polo
y sustituyendo ga y gc en (44.2) y operando:
y llevando a (42.2) el valor de k,
finalmente:
(45.2)
expresión llamada fórmula de Claireaud, gracias a la cual
podemos conocer f utilizando
únicamente mediciones gravimétricas. Es decir, midiendo la gravedad con un
péndulo en distintos puntos de la Tierra podremos determinar su forma.
En
la práctica la fórmula de Claireaud suele darse en función de la latitud
geográfica f
Veamos
el error que cometemos con esta aproximación. Recordemos que
Luego:
y desarrollando en serie:
y como que D = f'
Elevando
al cuadrado y considerando errores en f2
como hasta ahora:
si introducimos 
en (45.2),
vendrá multiplicado por un término lineal en f y por tanto, el término 
será del orden de f2 y lo podremos despreciar.
Vemos pues que al sustituir por 
cometemos un error del
orden de f2 que es el
error en que nos movemos.
Si
no despreciásemos dichos términos obtendríamos:
(46.2)
(según acuerdo de la
Asamblea General de la Unión Internacional de Geodesia celebrada en Moscú el
año 1971).
La
expresión (46.2) ha de corregirse de varios factores,
entre los cuales el más importante es la altitud del observador. Suponiendo que
la Tierra no gira (q=0) y que es una
esfera de radio r (no es achatada) se
tiene, según (41.2):
y diferenciando:
por lo tanto a la gravedad
que hemos obtenido se le tiene que restar la corrección debida a la altitud. Si
llamamos h a la altitud expresada en
metros, el término correctivo vale ‑0,0003090 h cm/seg2.